例 如图(1)，正方形ABCD的周长为4a，四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA边上滑动，在滑动过程中始终有EH∥BD∥FG，且EH＝GF。问：四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由。
初步认知
让学生自行阅读题，理顺句子意思，了解题目大致意思。
感性认识
利用多媒体进行教学，将四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H按照题目要求分别在AB、BD、CD、DA边上滑运的全过程在屏幕上显示出来，当动E、F、G、H分别滑至边AB、BC、CD、DA的中点时，暂停给学生观察四边形EFGH的周长是否可求，然后继续让动点E、F、G、H滑动，这四个顶点即将接近B、D两顶点时暂停一会，让学生观察一会，再继续慢慢地滑动一会，又暂停……此时学生将会猜想到四边形EFGH的周长等于对角线BD长度的两倍。学生的前后猜想一致，兴趣更浓，感性认识不得不上升到理性认识。
理性认识
设动点E离开A点的距离为x，离开点B的距离为y，则有： DH=BF=CG=x, CF=AH=DG=y , 所以:EH2=GF2=AE2+AH2=x2+x2=2x2,EF2=GH2=BE2+BF2=y2+y2=2y2,所以四边形EFGH的周长=2EH+2EF=2 x+2 y=2 (x+y)= 2 AB=2 ×4a× =2 a.
能力形成
如图2、动点E、F、G、H分别在边长为10cm的正方形的四个顶点A、B、C、D同时出发，以1cm／秒的速度沿AB、BC、CD、DA方向运动。第t(t≤10）秒时，四边形EFGH的面积是多少？在整个运动过程中，四边形EFGH的面积是否发生变化？如果有变化，它有最大值与最小值吗？是多少？
三、面的运动
例 如图3，棱长为10cm的正方体的顶点A处的一只甲昆虫为捕食停留在顶点C1处的乙昆虫，便以2cm∕秒的速度向乙昆虫爬去。问：甲昆虫按怎样的路线爬行才能最快捕捉到乙昆虫？最快要多少时间？
初步认知
让学生阅读题目，理顺句意，弄清题目大致意思。
感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
广西博白县东平镇二中 linzonghai@163.com
让学生阅读题目，理顺句意，弄清题目大致意思。
感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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如图2、动点E、F、G、H分别在边长为10cm的正方形的四个顶点A、B、C、D同时出发，以1cm／秒的速度沿AB、BC、CD、DA方向运动。第t(t≤10）秒时，四边形EFGH的面积是多少？在整个运动过程中，四边形EFGH的面积是否发生变化？如果有变化，它有最大值与最小值吗？是多少？
三、面的运动
例 如图3，棱长为10cm的正方体的顶点A处的一只甲昆虫为捕食停留在顶点C1处的乙昆虫，便以2cm∕秒的速度向乙昆虫爬去。问：甲昆虫按怎样的路线爬行才能最快捕捉到乙昆虫？最快要多少时间？
初步认知
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感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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理性认识
设动点E离开A点的距离为x，离开点B的距离为y，则有： DH=BF=CG=x, CF=AH=DG=y , 所以:EH2=GF2=AE2+AH2=x2+x2=2x2,EF2=GH2=BE2+BF2=y2+y2=2y2,所以四边形EFGH的周长=2EH+2EF=2 x+2 y=2 (x+y)= 2 AB=2 ×4a× =2 a.
能力形成
如图2、动点E、F、G、H分别在边长为10cm的正方形的四个顶点A、B、C、D同时出发，以1cm／秒的速度沿AB、BC、CD、DA方向运动。第t(t≤10）秒时，四边形EFGH的面积是多少？在整个运动过程中，四边形EFGH的面积是否发生变化？如果有变化，它有最大值与最小值吗？是多少？
三、面的运动
例 如图3，棱长为10cm的正方体的顶点A处的一只甲昆虫为捕食停留在顶点C1处的乙昆虫，便以2cm∕秒的速度向乙昆虫爬去。问：甲昆虫按怎样的路线爬行才能最快捕捉到乙昆虫？最快要多少时间？
初步认知
让学生阅读题目，理顺句意，弄清题目大致意思。
感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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如图2、动点E、F、G、H分别在边长为10cm的正方形的四个顶点A、B、C、D同时出发，以1cm／秒的速度沿AB、BC、CD、DA方向运动。第t(t≤10）秒时，四边形EFGH的面积是多少？在整个运动过程中，四边形EFGH的面积是否发生变化？如果有变化，它有最大值与最小值吗？是多少？
三、面的运动
例 如图3，棱长为10cm的正方体的顶点A处的一只甲昆虫为捕食停留在顶点C1处的乙昆虫，便以2cm∕秒的速度向乙昆虫爬去。问：甲昆虫按怎样的路线爬行才能最快捕捉到乙昆虫？最快要多少时间？
初步认知
让学生阅读题目，理顺句意，弄清题目大致意思。
感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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利用多媒体进行教学，将四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H按照题目要求分别在AB、BD、CD、DA边上滑运的全过程在屏幕上显示出来，当动E、F、G、H分别滑至边AB、BC、CD、DA的中点时，暂停给学生观察四边形EFGH的周长是否可求，然后继续让动点E、F、G、H滑动，这四个顶点即将接近B、D两顶点时暂停一会，让学生观察一会，再继续慢慢地滑动一会，又暂停……此时学生将会猜想到四边形EFGH的周长等于对角线BD长度的两倍。学生的前后猜想一致，兴趣更浓，感性认识不得不上升到理性认识。
理性认识
设动点E离开A点的距离为x，离开点B的距离为y，则有： DH=BF=CG=x, CF=AH=DG=y , 所以:EH2=GF2=AE2+AH2=x2+x2=2x2,EF2=GH2=BE2+BF2=y2+y2=2y2,所以四边形EFGH的周长=2EH+2EF=2 x+2 y=2 (x+y)= 2 AB=2 ×4a× =2 a.
能力形成
如图2、动点E、F、G、H分别在边长为10cm的正方形的四个顶点A、B、C、D同时出发，以1cm／秒的速度沿AB、BC、CD、DA方向运动。第t(t≤10）秒时，四边形EFGH的面积是多少？在整个运动过程中，四边形EFGH的面积是否发生变化？如果有变化，它有最大值与最小值吗？是多少？
三、面的运动
例 如图3，棱长为10cm的正方体的顶点A处的一只甲昆虫为捕食停留在顶点C1处的乙昆虫，便以2cm∕秒的速度向乙昆虫爬去。问：甲昆虫按怎样的路线爬行才能最快捕捉到乙昆虫？最快要多少时间？
初步认知
让学生阅读题目，理顺句意，弄清题目大致意思。
感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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三、面的运动
例 如图3，棱长为10cm的正方体的顶点A处的一只甲昆虫为捕食停留在顶点C1处的乙昆虫，便以2cm∕秒的速度向乙昆虫爬去。问：甲昆虫按怎样的路线爬行才能最快捕捉到乙昆虫？最快要多少时间？
初步认知
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感性认识
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理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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感性认识
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理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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理性认识
设动点E离开A点的距离为x，离开点B的距离为y，则有： DH=BF=CG=x, CF=AH=DG=y , 所以:EH2=GF2=AE2+AH2=x2+x2=2x2,EF2=GH2=BE2+BF2=y2+y2=2y2,所以四边形EFGH的周长=2EH+2EF=2 x+2 y=2 (x+y)= 2 AB=2 ×4a× =2 a.
能力形成
如图2、动点E、F、G、H分别在边长为10cm的正方形的四个顶点A、B、C、D同时出发，以1cm／秒的速度沿AB、BC、CD、DA方向运动。第t(t≤10）秒时，四边形EFGH的面积是多少？在整个运动过程中，四边形EFGH的面积是否发生变化？如果有变化，它有最大值与最小值吗？是多少？
三、面的运动
例 如图3，棱长为10cm的正方体的顶点A处的一只甲昆虫为捕食停留在顶点C1处的乙昆虫，便以2cm∕秒的速度向乙昆虫爬去。问：甲昆虫按怎样的路线爬行才能最快捕捉到乙昆虫？最快要多少时间？
初步认知
让学生阅读题目，理顺句意，弄清题目大致意思。
感性认识
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理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
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理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
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三、面的运动
例 如图3，棱长为10cm的正方体的顶点A处的一只甲昆虫为捕食停留在顶点C1处的乙昆虫，便以2cm∕秒的速度向乙昆虫爬去。问：甲昆虫按怎样的路线爬行才能最快捕捉到乙昆虫？最快要多少时间？
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理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
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让学生阅读题目，理顺句意，弄清题目大致意思。
感性认识
本例所提问题，如果仅用脑子凭空想象，学生倍感抽象，如果利用多媒体进行教学，借助大屏幕显示：甲昆虫从顶点A处反复几次试着爬行到顶点C1处，并请学生代表记下每次爬行的时间和留意每次爬行的路线（用不同颜色的线段表示），在甲昆虫爬行的同时配上音乐和昆虫捕食的情境，学生的各种感官会主动地参与到问题的探究中。必要时将平面A1ABB1与平面B1BCC1展开成一个平面A1ACC1，此时甲昆虫爬行的最短路线更明显了，即平面A1ACC1的对角线所在路线。
理性认识
由上述直观形象的感性材料可知：甲昆虫捕食乙昆虫的最短路线为展开平面A1ACC1的对角线AC1。根据勾股定理有：AC12=CC12+AC2=102+(10+10)2=500 ,所以甲昆虫爬行的最短时间＝10 ÷2＝5 (秒）。
能力形成
在上例子的前题下，甲昆虫追捕乙昆虫的最短路线有几条？如果顶点C1处的乙昆虫在甲昆虫开始追捕它的同时以1cm／秒的速度沿线段C1C逃跑，问：甲昆虫应该按怎样的路线追捕，才能最快捕获乙昆虫？最快时间为多少？
广西博白县东平镇二中 linzonghai@163.com
